Soal Latihan Olimpiade Matematika

Soal Latihan Olimpiade Matematika. Olimpiade Matematika adalah suatu perlombaan yang menggunakan materi matematik sebagai bahan perlombaan. Kegiatan ini diadakan untuk mengetahui sejauh mana tingkat pemahaman tentang matematika, penalaran dan komunikasi matematika untuk memecahkan masalah Matematika. Peserta olimpiade matematika ini biasanya berasal dari siswa sekolah dasar dan menengah. Baik siswa sekolah menengah pertama maupun sekolah menengah atas. Biasanya pemenang dari kegiatan olimpiade matematika ini selain mendapat hadiah, juga akan diikutsertakan dalam kegiatan serupa pada tingkat yang lebih tinggi. Olimpiade matematika ini pada dasarnya sama dengan berbagia macam kegiatan lomba lain. Hanya saja, materi yang diujikan bagi siswa adalah dengan memecahkan masalah yang berhubungan dengan materi dalam pelajaran matematika. Berikut ini contoh soal Olimpiade Matematika Tahun 2010, walaupun sudah jadul tidak ada salahnya mempelajari soal ini.

Soal Eksplorasi

1. A numberworm is made up of sixteen squares numbered consecutively from 1 to 16. It can be fit into a 4 x 4 grid so that two consecutive squares share a side, one possibility is given on the left below.  

5	6	7	8
4	1	10	9
3	2	11	12
16	15	14	13

Find as many as possible ways to fit a numberworm onto the grid on the right

1	16	11	10		1	16	15	14		1	16	13	12
2	15	12	9		2	3	12	13		2	15	14	11
3	14	13	8		5	4	11	10		3	5	7	10
4	5	6	7		6	7	8	9		4	5	8	9
8
1	16	15	14		1	16	15	14		1	16	15	14
2	7	8	13		2	4	3	13		2	11	12	13
3	6	9	12		7	6	5	12		3	10	9	8
4	5	10	11		8	9	10	11		4	5	6	7

2. Ada dua orang pria yaitu Budi dan Coki serta dua orang wanita yaitu Ani dan Diana. Keempat orang itu ada sepasang suami-istri dan dua orang yang belum menikah. Pasangan yang menikah mengeluarkan pernyataan yang benar dan dua orang yang belum menikah mengeluarkan pernyataan yang salah. Pernyataan mereka sebagai berikut.
Pria pendek :"Saya tidak menikah dengan Diana"
Pria tinggi    :"Saya Coki".
Wanita pendek :"Coki lebih pendek dibanding Budi".
Wanita tinggi :"Yang menikah adalah pria yang tinggi dengan wanita yang pendek".
Dari keempat pernyataan tersebut di atas, kita dapat menentukan nama masing-masing beserta ciri-cirinya. Lengkapilah tabel di bawah ini dengan nama dan statuspernikahan (menikah atau tidak menikah).

	Nama	Status Pernikahan
Pria Pendek
Pria Tinggi
Wanita Pendek
Wanita Tinggi

Jawab :

	Nama	Status Pernikahan
Pria Pendek	Coki (3)	Menikah (4)
Pria Tinggi	Ani (3)	Tidak Menikah (4)
Wanita Pendek	Budi (5)	Menikah (2)
Wanita Tinggi	Diana (5)	Tidak Menikah (1)

• (1). Pernyataan 2 dan 3 bertentangan. Salah satu pasti salah. Dengan demikian pria tinggi tidak menikah dengan wanita pendek. Akibatnya pernyataan 4 salah. Jadi Wanita tinggi tidak menikah.
• (2). Karena wanita tinggi tidak menikah maka wanita pendek menikah.
• (3). Karena wanita pendek menikah, dia mengeluarkan pernyataan yang benar. Dengan demikian Coki adalah pria pendek dan Budi adalah pria tinggi. Selain itu didapat kesimpulan bahwa Pria tinggi mengeluarkan pernyataan yang salah.
• (4). Karena pria tinggi (Budi) mengeluarkan pernyataan salah, dia tidak menikah dan Coki menikah.
• (5) Karena Coki tidak menikah dengan Diana, maka Coki menikah dengan Ani

3. Sembilan bilangan asli berbeda yang masing-masing kurang dari 21 diletakkan pada tabel 3 x 3 dengan ketentuan sebagai berikut. Pada setiap baris, kolom, atau diagonal berlaku “bilangan yang berada di tengah sama dengan rata-rata dari dua yang lain.” Jika bilangan 10 dan 15 menduduki posisi sebagaimana pada tabel di bawah ini, tuliskan sebanyak mungkin susunan yang memenuhi ketentuan di atas.

	10
		15

Jawaban :

5	12	19		5	11	17		5	9	13		5	8	11
3	10	17		4	10	16		6	10	14		7	10	13
1	8	15		3	9	15		7	11	15		9	12	15
5	3	1		5	4	3		5	6	7		5	7	9
12	10	8		11	10	9		9	10	11		8	10	12
19	17	15		17	16	15		13	14	15		11	13	15

4. Sisi dari setiap dadu masing-masing diberi angka 1, 2, 3, 4, 5 dan 6. Angka 1 berseberangan dengan 6, angka 2 berseberangan dengan angka 5, dan angka 3 berseberangan dengan 4. Beberapa dadu akan disusun (bukan ditumpuk keatas) menjadi sebuah rangkaian dengan cara merekatkan satu sisi sebuah dadu dengan satu sisi dadu yang lain. Hanya dua buah sisi dengan angka sama yang boleh direkatkan. Dengan cara demikian, sisi-sisi yang direkatkan dan sisi bagian bawah menjadi tidak nampak (tidak terlihat). 

a. Jika kita menyusun dua buah dadu, berapa nilai terbesar yang mungkin didapat  dari jumlah angka-angka yang tampak? 

b. Jika kita menyusun tiga buah dadu, berapa nilai terbesar yang mungkin didapat  dari jumlah angka-angka yang tampak? 

c. Jika kita menyusun enam buah dadu, berapa nilai terbesar yang mungkin  didapat dari jumlah angka-angka yang tampak? 

5. Tuliskan sebanyak mungkin bilangan asli yang memenuhi semua empat sifat berikut:

a. Terdiri atas empat digit yang semuanya berbeda

b. Tidak memuat digit 0

c. Jumlah keempat digitnya habis dibagi 4

d. Hasil kali dua digit pertama sama dengan hasil kali dua digit terakhir 
Tabel berikut memperlihatkan bilangan yang memenuhi syarat (i), (ii), dan (iv).

Dua Digit Pertama	Dua Digit Terakhir	Dua Digit Pertama	Dua Digit Terakhir
16	23,32	43	26,62
18	24,42	46	38,83
23	16,61	62	34,43
24	18,81	63	29,92
26	34,43	64	38,83
29	36,63	81	24,42
32	16,61	83	46,64
34	26,62	92	36,63
36	46,64	-	-

Dengan memeriksa, bilangan yang juga memenuhi syarat ketiga (sehingga ia memenuhi keempat syarat yang diminta) adalah 1623, 1632, 2316, 2361, 2936, 2963, 3216, 3261, 3629, 3692, 6329, 6392, 9236, dan 9263.

6. Setiap kerangka kubus mempunyai 12 rusuk. Apabila kita menghimpitkan dua kerangka kubus yang berukuran sama dan setiap dua rusuk yang berimpitan dianggap satu rusuk maka didapat sebuah bangun balok yang mempunyai 20 rusuk. Dengan aturan seperti di atas maka :

a. Apabila 8 buah kerangka kubus yang berukuran sama disusun berjajar memanjang membentuk bangun balok, ada berapa rusuk pada bangun balok yang terbentuk?

b. Apabila 8 buah kerangka kubus yang berukuran sama disusun sehingga membentuk bangun kubus , ada berapa rusuk pada bangun tersebut?

c. Apabila 125 buah kerangka kubus yang berukuran sama disusun berjajar memanjang, ada berapa rusuk pada bangun balok tersebut?

d. Apabila 125 buah kerangka kubus yang berukuran sama disusun sehingga membentuk bangun kubus, ada berapa rusuk pada bangun tersebut?

a. (8×12)-(7×4) = 68
b. (2×12)-(1×4) =20 (2×20)-(1×7) =33 (2×33)-(1×12) = 54
c. (125×12)-(124×4) = 1004
d.(5×12)-(4×4) = 44 (5×44)-(4×16) = 156 (5×156)-(4×60)=540

Soal Isian Singkat
7. Sepuluh anak kelas VI berangkat berkemah dengan membawa bekal yang cukup untuk 9 hari. Dalam perjalanan, 5 anak lain bergabung untuk ikut berkemah, tetapi mereka tidak membawa bekal. Bekal semula yang mereka bawa tersebut cukup untuk ....hari.
10 x 9 = 15 x 6 = 6 hari

8. Banyaknya pasangan segitiga yang kongruen (sama dan sebangun) dari gambar jajargenjang di samping ini adalah ...

Jawab :
Satu segitiga : 3 Dua segitiga : 1; Tiga segitiga : 2; Total 6 pasang

9. The remainder of (3457689 x 9876543 x 7777 ) : 5 is 4

10. Sebuah kotak berisi bola merah dan bola putih dengan 80% di antaranya adalah  bola merah. Mula-mula diambil 35 bola merah dan 5 bola putih dari kotak tersebut. Sisanya dibagi menjadi beberapa kelompok, masing-masing terdiri atas 7 bola. Pada setiap kelompok terdapat 5 bola merah. Pada awalnya paling sedikit terdapat bola dalam kotak tersebut.

No	#Bola Merah	#Bola Putih	Rasio	Apakah Rasionya 4 : 1 ?
Diambil	35	5
Sisa 1 klpk	+5	+2	40 : 7	x
Sisa 2 klpk	+10	+4	45 : 9	x
Sisa 3 klpk	+15	+6	50 : 11	x
Sisa 4 klpk	+20	+8	55 : 13	x
Sisa 5 klpk	+25	+10	60 : 15	√

Jadi isi kotak semula 60 + 15 = 75 bola

11. Pada gambar di samping, tiga lingkaran yang terletak pada titik-titik sudut suatu segitiga disebut lingkaran-lingkaran serumpun. Setiap kali Fikry menambahkan bilangan 1 pada suatu lingkaran, ia harus menambahkan pula bilangan 1 pada dua lingkaran lain yang serumpun dengan lingkaran tersebut. Setelah beberapa kali penambahan bilangan 1, diperoleh susunan bilangan seperti tampak pada gambar tersebut. Jika pada awalnya semua lingkaran tersebut berisi bilangan 0, maka nilai adalah . 

Nilai a = 2

6. Sisi-sisi dari 6 kubus masing-masing diberi angka 1, 2, 3, 4, 5 dan 6. Angka 1 berseberangan dengan 6, angka 2 berseberangan dengan angka 5, dan angka 3 berseberangan dengan 4. Selanjutnya kubus-kubus satuan tersebut disusun susunan sebagai berikut. Jumlah terbesar yang mungkin dari angka-angka pada 21 sisi yang tampak (sisi-sisi atas, samping, depan, dan belakang) pada susunan kubus tersebut adalah . 

Jawab: 89

Penjelasan :
Kubus A satu sisi tidak tampak.
Jumlah terbesar = (2+3+4+5+6) = 20
Kubus B dan F dua sisi tidak tampak
Jumlah terbesar = 2(3+4+5+6) = 36
Kubus C dan D
Jumlah terbesar = 2(13) = 26
Kubus E
Jumlah terbesar = 7
Jumlah keseluruhan = 20+36+26+7=89

12. Banyaknya segitiga berbeda yang ukuran ketiga sisinya merupakan bilangan asli dan ukuran sisi terpanjangnya 10 adalah .... 
Jawab: 30
Penjelasan
Misalkan a adalah ukuran sisi terpanjang segitiga itu. Berlaku b, c =a dan a < b + c.
Berikut adalah kemungkinan ukuran sisi-sisi segitiga tersebut.

Sisi Terpanjang	Sisi Kedua	Sisi Terpendek
10	10	ada 10 macam (1 - 10)
10	9	ada 8 macam (2 - 9)
10	8	ada 6 macam (3 - 8)
10	7	ada 4 macam (4 - 7)
10	6	ada 2 macam (5 - 6)

13. Joko dan Badrun berdiri pada suatu antrian. Pada antrian tersebut, perbandingan antara banyaknya orang di depan dan di belakang Joko adalah 1 ∶ 3. Sedangkan perbandingan antara banyaknya orang di depan dan di belakang Badrun adalah 2∶5. Paling sedikit banyaknya orang pada antrian tersebut adalah . 
Jawab: 29 orang
Penjelasan :

Antrian Joko			Antrian Badrun
Depan	Belakang	Jml Antrian	Depan	Belakang	Jml Antrian
1	3	5	2	5	8
2	6	9	4	10	15
3	9	13	8	20	29
4	12	17	10	25	36
5	15	21	-	-	-
6	18	25	-	-	-
7	21	29	-	-	-

14. Saat ini, usia Hasan sama dengan 7 kali usia Yenny. Dua tahun lalu, usia Hasan sama dengan 9 kali usia Yenny. Usia Hasan saat ini adalah...
Jawab: 56 tahun
Penjelasan
Kemungkinan usia Hasan dan Usia Yenny disajikan pada tabel berikut.

Dua Tahun Lalu			Saat Ini
Usia Hasan	Usia Yeny	Perbandingan	Usia Hasan	Usia Yeny	Perbandingan
9	1	9 : 1	11	3	11 : 3
18	2	9 : 1	20	4	5 : 1
27	3	9 : 1	29	5	29 : 5
36	4	9 : 1	38	6	19 : 3
45	5	9 : 1	47	7	47 : 7
54	6	9 : 1	56	8	7 : 1
63	7	9 : 1	65	9	65 : 9

Dari Tabel di atas dapat diketahui bahwa usia Hasan dan Yenny saat ini berturut-turut adalah 56 tahun dan 8 tahun.

15. The measure of an angle of an isosceles triangle is four times of the others. The smallest possible measure of this angle is . . .°. 
Jawab : 20°
Misalkan dua buah sudut tersebut adalah x dan 4x.
Jika sudut yang ketiga adalah x , maka jumlah ketiganya adalah x +  x +  4x = 6x . Akibatnya
6 x 180° atau x= 30°, yang memberikan sudut-sudut segitiga 30°, 30°, dan 120°.
Sedangkan jika sudut yang ketiga adalah 4x, maka jumlah ketiganya adalah x+ 4x + 4x =9x .
Akibatnya 9x 180° atau x = 20°, yang memberikan sudut-sudut segitiga 20°, 80°, dan 80°.
Jadi, nilai terkecil yang mungkin bagi sudut segitiga tersebut adalah 20° sedangkan nilai terbesarnya adalah 120°.

16. Sebuah kotak memuat 20 bola kuning, 9 bola merah, dan 6 bola biru. Paling sedikit bola yang harus diambil dari kotak tersebut untuk memastikan terambil sedikitnya 2 bola dari masing-masing warna adalah...
Jawab: 31
Jika hanya mengambil 30 bola, mungkin terjadi yang terpilih adalah 20 bola kuning, 9 bola merah, dan 1 bola biru. Jadi, banyaknya bola yang harus diambil paling sedikit adalah 31 bola.

17. Dua belas segitiga sama sisi disusun seperti pada gambar di bawah. Banyaknya segiempat pada gambar tersebut adalah . 

Jawab :

• Dua buah segitiga yang berdekatan akan membentuk belah ketupat. Banyaknya belah ketupat ini adalah 11.
• Tiga buah segitiga yang berdekatan akan membentuk trapesium sama kaki. Banyaknya trapesium ini adalah 10.
• Perhatikan juga, bahwa jajargenjang yang dibentuk oleh empat buah segitiga berdekatan ada 4.
• Lima buah atau lebih segitiga tidak membentuk segiempat.
• Jadi, banyaknya segiempat yang terdaat pada gambar tersebut adalah 25, terdiri dari 11 belahketupat, 10 trapesium, dan 4 jajargenjang.

18. Pada tahun 2009 perbandingan banyaknya rusa jantan dan rusa betina di suatu kebun binatang adalah 2 : 3. Pada tahun 2010 banyaknya rusa jantan bertambah 9 ekor dan banyaknya rusa betina berkurang 4 ekor, sehingga perbandingannya menjadi 3 :  2. Banyaknya rusa jantan pada tahun 2010 di kebun binatang tersebut adalah...
Jawab: 21
Penjelasan

Tahun	Jantan	Betina	Jantan	Betina
2009	2	3 →	12	18
2010	J + 9	B - 4 →	21	14
2010	3	2 →	3	2

19. Eleven students have a math test with the average score 65. The difference between the highest and the lowest scores is 20. If the highest and the lowest scores are ignored then the average is 63. The highest score is . . . .  
Jawab: Jumlah nilai dari 11 anak: 11 x 65 = 715
Jumlah nilai 9 anak = 9 x 63 = 567
Misalkan x adalah nilai siswa tertinggi, maka x + (x - 20) = 715 - 567 - 148

20. Diketahui susunan lima angka 1 2 3 4 5. Sebuah tanda tambah (+) dan sebuah tanda kurang (–) disisipkan di antara dua angka yang berdekatan sehingga jika dihitung menghasilkan suatu bilangan dengan nilai tertentu. Berikut dua contoh penempatan tanda: 

a. 1 + 234 – 5 = 230

b. 12 – 3 + 45 = 54 

Selisih bilangan terbesar dengan bilangan terkecil yang mungkin dihasilkan dengan  cara tersebut adalah...
Jawab : 686
Penjelasan
Perhatikan bahwa, bilangan terbesar yang dapat dihasilkan adalah 1 - 2 + 345 = 344. Sedangkan bilangan terkecilnya adalah 1 + 2 - 345 = -342. Dengan demikian, selisih antara bilangan terbesar dan bilangan terkecil yang mungkin adalah 344 -(-342) = 686.

21. Empat lingkaran dengan perbandingan jari-jari 8 ∶ 4 ∶ 2 ∶ 1 bersinggungan pada suatu titik, seperti pada gambar di bawah. Perbandingan ukuran luas daerah yang diarsir dengan luas daerah yang tidak diarsir adalah...

22. Banyaknya penduduk Desa Suka Maju adalah 250 orang dengan rincian sebagai berikut. 

Sebanyak 85% penduduk berusia di atas 15 tahun. 

Sebanyak 45% penduduk berusia di bawah 25 tahun. 

Sebanyak 25% penduduk berusia di atas 50 tahun. 

Banyaknya penduduk desa tersebut yang berusia di atas 15 tahun dan tidak lebih dari 50 tahun adalah ....orang. 
60% x 250 orang = 150 orang

23. Pada trapesium di bawah ini, 12 cm, 6 cm, dan sudut 45°. Jika luas trapesium adalah 45 cm2, maka panjang adalah ... cm. 

24. The sequences 1, 20, 39, 58, 77, and 17, 29, 41, 53, 65, 77, have 77 as a common term. The next common term of these sequences is...
Jawab : 77 + 19 x 12 = 305

20. Rata-rata nilai matematika seluruh siswa kelas V adalah 9. Rata-rata nilai matematika siswa laki-laki di kelas tersebut adalah 8,8. Apabila di kelas tersebut di antaranya adalah siswa laki-laki, maka rata-rata nilai matematika siswa perempuan di kelas tersebut adalah .... 

Jawab: 36,6/4 =9,15
Penjelasan: Seandainya di kelas tersebut ada 7 orang.
Banyaknya siswa      = 7 dengan total nilai 7 x 9     = 63
Banyaknya laki-laki = 3 dengan total nilai 8,8 x 3 = 26,4
Banyaknya perpn     = 4 dengan total nilai              = 36,6
Rata-rata nilai siswa perempuan = 36,6/4 = 9,15

25. Suatu bangun ruang mempunyai jaring-jaring seperti gambar di bawah ini. Banyak titik sudut bangun ruang tersebut adalah . 

Jawab : 20 (banyak segitiga ) x 3( banyak sisi tiap segitiga) : 5 = 12.
Penjelasan

26. Bilangan 12 dapat dinyatakan sebagai hasil penjumlahan maupun hasil kali dari 6 bilangan {1, 1, 1, 1, 2, 6} karena 1 + 1 + 1 + 1 + 2 +  6 = 12 dan 1+ 1 +1 +1 + 2 + 6 = 12. Dengan kondisi seperti itu, kita sebut bahwa 12 dapat diuraikan menjadi 6 bilangan. Selain itu bilangan 12 juga dapat diuraikan menjadi 8 bilangan yaitu { 1,1, 1, 1, 1, 2, 2, 3} karena 1+ 1 + 1 + 1 + 1 + 2 + 2 + 3 = 12 dan 1 +1 +1+ 1 +1 + 2 + 2 + 3 = 12. Dapat ditunjukkan bahwa bilangan 12 dapat diuraikan paling banyak menjadi 8 bilangan. Bilangan 2010 dapat diuraikan paling banyak menjadi. ...bilangan. 
Jawab: 1937
Penjelasan

• Faktor prima dari 2010 adalah 2, 3, 5 dan 67. Hasil kali bilangan-bilangan ini adalah 2010, yaitu 2 x 3 x 5 x 67 = 2010 dan hasil penjumlahannya adalah (2 + 3 + 5 + 67) = 77.
• Bilangan-bilangan tersebut perlu ditambah bilangan 1 sebanyak (2010 – 77) = 1933 agar hasil penjumlahan seluruh bilangan tersebut adalah 2010; yaitu
• 2 + 3 + 5 + 67 + 1 + 1 + …+ 1 = 2010.
• Demikian pula hasil kali seluruh bilangan tersebut adalah 2010; yaitu 1 x 1 x 1 x …x 1 x 2 x 3 x 5 x 67 = 2010
• Jadi, bilangan-bilangan yang memenuhi ketentuan tersebut adalah {1, 1, 1, …,1, 2, 3, 5, 67}.
• Banyaknya bilangan tersebut adalah 4 + 1933 = 1937 bilangan.

27. In the following figure, the area of is 80 cm2. If, and divides  into two regions of the same area, then the length of is . . . cm.

28. Misalkan 10000 = a x b x c, dengan a, b, dan c, adalah bilangan-bilangan asli yang tidak memiliki angka 0. Jika a, b dan c boleh sama, maka nilai terkecil yang mungkin dari a + b + c adalah...
Jawab : 66
Perhatikan bahwa 10.000= 2⁴ x 5⁴. Karena a, b, dan c tidak memiliki angka 0 (oleh karena itu satuan dari bilangan-bilangan ini bukan 0), maka a, b, dan c tidak memiliki faktor 2, dan 5 sekaligus. Kemungkinan nilai a, b, dan c ditunjukan pada tabel di bawah ini :

a	b	c	a + b + c
2	2x2x2=8	5x5x5x5 =625	635
2x2=4	2x2=4	5x5x5x5 =625	635
2x2x2x2=16	5	5x5x5=125	146
2x2x2x2=16	5x5=25	5x5=25	66

29. Bagian atas ∆ dilipat ke arah alas pada bagian seperti tampak pada gambar berikut. dan sejajar dengan panjang berturut-turut 10 cm dan 8 cm. Tinggi ∆ adalah 15 cm. Luas daerah yang diarsir adalah.

Label :Matematika