FPB dan KPK

Faktor Persekutuan Terbesar atau FPB dan Kelipatan Persekutuan Terbesar atau KPK. Faktor merupakan angka-angka yang dapat membagi suatu bilangan. Sedangkan FPB adalah singkatan dari Faktor Persekutuan Terbesar, yaitu faktor-faktor atau angka-angka  pembagi yang paling besar dari suatu bilangan.

Kelipatan adalah penjumlahan suatu bilangan dengan bilangan itu sendiri secara terus-menerus. Sedangkan KPK singkatan dari Kelipatan Persekutuan Terkecil, yaitu kelipatan dari suatu bilangan tapi yang nilainya paling kecil.

Secara umum mencari FPB  dan KPK dilakukan dengan beberapa cara, antara lain :

• Mencari semua faktor-faktor(FPB)/kelipatan(KPK) bilangan tersebut;
• Menggunakan faktorisasi prima;
• Pembagian dengan bilangan prima
• Jalan pintas

Cara 1

Dengan mencari semua faktor-faktor bilangan itu, kemudian carilah mana yang merupakan faktor yang sama dan terbesarnya. Faktor-faktor bilangan didapat dengan mencari semua perkalian dua bilangan yang menghasilkan bilangan tersebut. 

Contoh : bilangan 40 didapat dari hasil perkalian (1 x 40), (2 x 20), (4 x 10), dan (5 x 8). Jadi, faktor-faktor dari bilangan 40 adalah 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, dan 40. 

Untuk KPK yaitu dengan mencari kelipatan persekutuan dari bilangan-bilangan tersebut :

• 12 = 12, 24, 36, 48, 70, 
• 8 = 8, 16, 24, 32, 40, 48
• KPK 8 dan 12 adalah 24

Berikut contoh soal beserta pembahasannya dengan menggunakan cara ini.

1. Carilah FPB antara 25 dan 40.

• 25 = (1 x 25) dan (5 x 5). Jadi, faktor dari 25 adalah 1, 5, dan 25.
• 40 = (1 x 40), (2 x 20), (4 x 10), dan (5 x 8). Jadi, faktor dari 40 adalah 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, dan 40.

Perhatikan faktor-faktor bilangan 25 dan 40. Didapat bahwa yang merupakan faktor yang sama dan terbesar adalah 5. Jadi, FPB (25,40) = 5

2. Carilah FPB dari 16, 24, dan 28.

• 16= (1 x 16), (2 x 8), dan (4 x 4). Jadi, faktor dari 16 adalah 1, 2, 4, 8, dan 16.
• 24= (1 x 24), (2 x 12), (3 x 8), dan (4 x 6). Jadi, faktor dari 24 adalah 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, dan 24.
• 28=(1 x 28), (2 x 14), dan (4 x 7). Jadi, faktor dari 28 adalah 1, 2, 4, 7, 14, dan 28.

Perhatikan faktor dari 16, 24, dan 28. Didapat bahwa yang merupakan faktor yang sama dan terbesar adalah 4. Jadi, FPB (16, 24, 28) = 4

Cara 2.

Dengan menggunakan faktorisasi prima.

Bilangan prima adalan bilangan asli yang lebih besar dari 1, yang faktor pembaginya adalah 1 dan bilangan itu sendiri. Yang termasuk bilangan prima, yaitu: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, ...dan seterusnya. Faktorisasi prima adalah perkalian bilangan-bilangan prima yang menghasilkan suatu bilangan. Contohnya, faktorisasi prima dari 50 adalah 2 x 5² atau bisa ditulis 50 = 2 x 5².  

Langkah-langkah mencari FPB adalah sebagai berikut :

• Menentukan faktorisasi prima dari bilangan-bilangan itu.
• Mengambil faktor yang sama dari bilangan-bilangan itu.
• Jika faktor yang sama pangkatnya berbeda, ambillah faktor yang pangkatnya terkecil.

Langkah-langkah mencari KPK adalah sebagai berikut :

• Menentukan faktorisasi prima dari bilangan-bilangan itu.
• Kalikan semua faktor dari bilangan-bilangan itu.
• Jika ada faktor yang sama, ambillah faktor yang pangkatnya terbesar.

Contoh Soal :

1. Carilah FPB antara 25 dan 40.

• 25=5²
• 40=2² x 5

Perhatikan bahwa faktor prima yang sama adalah 5. Perhatikan pangkatnya 5 dan 5². Ambil pangkat terkecil yaitu 5(pangkat 1 tidak ditulis). Karena tidak ada lagi faktor-faktor prima yang sama, maka FPB (25 dan 40) = 5, KPK = 2² x 5² = 4 x 25 = 100.

2. Carilah FPB dari 18, 24, dan 36.

• 18=2 x 3²
• 24=2³ x 3
• 36=2² x 3²

Perhatikan faktor-faktor prima yang sama adalah 2 dan 3. Perhatikan pangkatnya. 2, 2², dan 2³ Ambil pangkat terkecil yaitu 2. 3 berpangkat 1 dan berpangkat 2. Ambil pangkat terkecil yaitu 3. Jadi, FPB (18, 24 dan  36) = 2 x 3=6. KPK = 2³ x 3² = 8 x 9 = 72.

Cara 3

Pembagian dengan bilangan prima

Pertama-tama, bagilah kedua bilangan dengan bilangan prima terkecil yang dapat membagi keduanya. Bilangan prima terkecil yang dapat membagi 24 dan 60 adalah 2.

2 | 24 60 (24:2=12, 60:2=30)

   |12 30

Lanjutkan dengan langkah-langkah yang sama sampai tidak ada lagi bilangan prima yang dapat membagi bilangan yang ada di sebelah kanan.

2 | 24 60

2 | 12 30 (12:2=6, 30:2=15)

3 | 6  15  (6:3=2, 15:5=3)

   | 2  5

FPBnya adalah 2 × 2 × 3 = 12.

Cara 4
Jalan pintas
Rumus: 
FPB: yang besar dibagi yang kecil, sisanya itu FPB 
KPK: yang besar dikali yang kecil dibagi FPB 


FPB dan KPK dari 18 dan 24 
FPB = 24 dibagi 18 , dapat 1 sisa 6 dan FPB nya adalah 6. 
KPK = 24 x 18 : 6 = 24 x 3 = 72.

Label :Matematika